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Carico di punta

Carico di punta: come calcolare il carico critico euleriano

Tempo di lettura stimato: 7 minuti

Il carico di punta è uno sforzo di compressione che può causare fenomeni di instabilità nelle aste snelle. Scopri come si calcola il carico critico euleriano

Quando un elemento strutturale snello viene sottoposto a un carico di punta, ovvero una forza di compressione assiale applicata direttamente alla sua estremità, può perdere la sua capacità di sopportare ulteriori carichi senza piegarsi o cedere. Questo fenomeno, noto come “instabilità”, costituisce una potenziale minaccia di collasso per l’intera struttura.

Nell’articolo che segue, ci concentreremo su uno dei metodi utilizzati per valutare la stabilità delle aste snelle soggette a carico di punta, rappresentato dal cosiddetto metodo del carico critico euleriano. Questo metodo costituisce per gli ingegneri e i professionisti del settore uno strumento essenziale per progettare strutture più sicure e prevenire il collasso dovuto all’instabilità.

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Rivoluziona da oggi il tuo approccio alla progettazione strutturale e scopri insieme a noi in questo articolo come risolvere efficacemente i problemi di instabilità dovuti all’azione dei carichi di punta.

Che cosa sono i carichi di punta?

Nell’ambito dell’ingegneria strutturale, il termine “carico di punta” si riferisce a uno sforzo di compressione assiale applicato direttamente all’estremità di un elemento longilineo. Sebbene possa apparire come un carico di semplice natura, le sue conseguenze possono risultare significativamente diverse a seconda della configurazione geometrica dell’elemento coinvolto.

Prendiamo in considerazione due tipi di elementi strutturali: uno tozzo, come un pilastro, e uno snello, come un’asta in acciaio.

Nel caso di un pilastro tozzo, caratterizzato da una lunghezza relativamente limitata rispetto al suo spessore, quando un carico di punta viene applicato alla testa dell’elemento si verifica una rottura per schiacciamento. Questo avviene perché nell’elemento si genera una sollecitazione di compressione e nel momento in cui la tensione generata dal carico supera la capacità di resistenza del materiale, l’elemento collassa.

Nel caso di un’asta snella, caratterizzata da una lunghezza molto più elevata rispetto allo spessore trasversale, l’applicazione di un carico di punta all’estremità comporta una tendenza dell’asta ad inflettersi, provocando fenomeni di instabilità. A differenza dell’elemento tozzo, in cui una lieve eccentricità del carico non produce effetti significativi e la compressione assiale è predominante, nell’asta snella anche una minima distribuzione asimmetrica del carico genera un momento flettente non trascurabile. Ciò significa che l’elemento strutturale si piega o si incurva sotto l’effetto del carico di punta, portando rapidamente al collasso della struttura.

Perché l’instabilità dovuta ai carichi di punta è rischiosa?

L’instabilità associata ai carichi di punta è un fenomeno che richiede particolare attenzione, poiché rappresenta una grave minaccia per la sicurezza strutturale. Ciò è dovuto a due motivi principali:

  • rottura a carichi inferiori a quelli limite del materiale: una delle caratteristiche distintive dell’instabilità dovuta all’azione di un carico di punta è la sua capacità di provocare il collasso strutturale anche quando l’elemento sembra essere sottoposto a sforzi relativamente bassi. Nonostante le tensioni nominali risultanti dal carico di punta si trovino al di sotto dei limiti di resistenza del materiale, il fenomeno può causare la rottura improvvisa dell’elemento. Questo aspetto rende difficile valutare la sicurezza strutturale basandosi unicamente sui limiti di resistenza del materiale, poiché l’instabilità può verificarsi a carichi inferiori rispetto a quelli previsti;
  • collasso senza preavviso: un altro motivo per cui l’instabilità associata ai carichi di punta è così pericolosa risiede nella sua tendenza a manifestarsi improvvisamente, senza alcun preavviso. A differenza di altri fenomeni di cedimento strutturale, come ad esempio la plasticizzazione graduale di una sezione, l’instabilità può verificarsi senza segnali visibili di un imminente collasso. Questo aspetto rende difficile prevedere quando e come si verificherà il cedimento strutturale. La mancanza di segni premonitori chiari complica l’adozione di adeguate misure di mitigazione del rischio e può portare a conseguenze catastrofiche in termini di sicurezza strutturale.

Quali sono i parametri che influenzano l’instabilità?

Nei paragrafi successivi, quando esamineremo la formula per il calcolo del carico critico euleriano, vedremo come l’instabilità sia influenzata da due parametri fondamentali: la snellezza e la lunghezza libera di inflessione dell’elemento strutturale soggetto al carico.

La snellezza riveste un ruolo cruciale poiché, all’aumentare del suo valore, cresce la propensione dell’elemento a subire deformazioni eccessive sotto l’azione dei carichi applicati, aumentando così il rischio di instabilità strutturale. Ogni asta compressa è caratterizzata da due valori di snellezza, λy e λz, che possono essere calcolati con le seguenti relazioni:

λy= L0,y ⁄ ρy

λz= L0,z ⁄ ρz

in cui:

  • λy e λz rappresentano i valori di snellezza per sbandamento intorno agli assi locali y e z;
  • L0,y e L0,z indicano le lunghezze di libera inflessione per sbandamento intorno agli assi locali y e z;
  • ρy e ρz rappresentano i raggi d’inerzia rispetto agli assi locali y e z.

Per determinare lo sforzo di compressione critico minimo, occorre inserire nella formula per il calcolo del carico critico euleriano il valore massimo della snellezza tra λy e λz.

Pe quanto riguarda la lunghezza libera di inflessione, questa rappresenta la distanza tra due punti di flesso consecutivi dell’asta compressa nella sua configurazione deformata. Tale distanza dipende esclusivamente dalle condizioni di vincolo imposte alle estremità dell’elemento strutturale e può assumere i seguenti valori:

  • trave vincolata con due cerniere agli estremi → L0 = L
  • trave vincolata con un incastro e una cerniera → L0 = 0,7∙L
  • trave vincolata con un solo incastro (mensola) → L0 = 2L
  • trave vincolata con un due incastri agli estremi → L0 = 0,5∙L

È fondamentale tenere presente che la lunghezza libera di inflessione potrebbe variare tra il piano locale x-z e il piano locale x-y, in quanto le condizioni di vincolo possono essere diverse rispetto a questi due piani.

Lunghezze di libera inflessione

Lunghezze di libera inflessione

La formula di Eulero per il calcolo del carico critico

Il problema dell’instabilità associata a carico di punta fu studiato da Leonhard Euler nel XVIII secolo. Lo scienziato analizzò il comportamento di un’asta vincolata con una cerniera ad un’estremità e con un appoggio semplice nell’altra, soggetta a uno sforzo di compressione assiale. In particolare, osservò che l’applicazione di questo carico può portare a due scenari distinti a seconda della sua entità:

  1. trave elasticamente stabile: se il carico è inferiore a un certo valore, la trave risponde deformandosi in modo elastico. Ogni minimo spostamento laterale impresso alla trave durante questa fase produce un momento interno, o momento elastico, che è sufficiente a ristabilire la configurazione rettilinea iniziale dell’asta una volta che la forza responsabile dello spostamento laterale viene rimossa. In altre parole, la trave torna alla sua forma originaria senza subire danni strutturali significativi;
  2. trave elasticamente instabile: nel momento in cui il carico applicato supera il valore critico, anche il più piccolo spostamento laterale produce un momento flettente esterno maggiore del momento elastico di richiamo. In questa situazione, la trave non è più in grado di sopportare il carico applicato e collassa improvvisamente, diventando elasticamente instabile. Questo comportamento è tipico delle travi estremamente lunghe e sottili quando vengono sottoposte a carichi di compressione elevati.

Analizzando questi due comportamenti e sviluppando un’analisi del secondo ordine, ovvero un’analisi che tiene conto dell’equilibrio del sistema nella sua configurazione deformata e considera gli effetti delle non linearità geometriche, Euler riuscì a ricavare una formula per calcolare il massimo carico di punta a cui può essere sottoposto un elemento strutturale prima che possano verificarsi fenomeni di instabilità. Tale carico viene definito, appunto, carico critico euleriano e può essere determinato con la seguente relazione:

Ncr2 EImin/L02

in cui:

  • Imin rappresenta il momento d’inerzia minimo della sezione;
  • E indica il modulo elastico del materiale;
  • L0 corrisponde alla lunghezza di libera inflessione dell’asta.

La formula appena illustrata può essere espressa in funzione della snellezza dell’asta sostituendo il rapporto Imin/L02 con la seguente relazione:

Imin/L02= A (ρmin2)/(L02 )=A/(λmax2 )

in cui:

  • ρmin rappresenta il raggio d’inerzia minimo della sezione;
  • λmax indica la massima snellezza dell’asta, calcolata come il rapporto tra lunghezza libera di inflessione L0 dell’elemento e il raggio di inerzia minimo della sezione trasversale ρmin.

Così facendo si ottiene la formula seguente:

Ncr2  EA/(λmax2 )

in cui:

  • A rappresenta l’area della sezione trasversale dell’asta;
  • E indica il modulo elastico del materiale utilizzato;
  • λmax rappresenta la snellezza massima dell’asta rispetto agli assi locali y e z.

Le curve di instabilità

Una volta ottenuto il valore del carico critico euleriano, è possibile esprimerlo anche in termini tensionali mediante la seguente relazione:

σcr=Ncr/A=(π2 E)/(λmax2 )

La “tensione critica”, ottenuta dal rapporto tra il carico critico e l’area della sezione trasversale, può essere rappresentata in un grafico cartesiano, riportando la snellezza (λ) della trave sull’asse delle ascisse e il valore della tensione sull’asse delle ordinate. Man mano che il valore della snellezza aumenta, la resistenza dell’asta a compressione diminuisce. Il punto in cui la tensione critica coincide con la tensione resistente di compressione dell’acciaio (fyd), individua la snellezza critica. Per valori di snellezza inferiori alla snellezza critica, l’asta viene considerata come tozza, mentre per valori di snellezza superiori alla snellezza critica, l’asta viene considerata come snella.

Curva di stabilità euleriana

Curva di stabilità euleriana

La curva di stabilità euleriana rappresenta il comportamento teorico ideale di un’asta strutturale sotto carico di compressione ed è stata ottenuta attraverso modelli matematici. Il comportamento reale varia leggermente da quello proposto da Euler, poiché quest’ultimo non tiene conto delle imperfezioni geometriche delle aste.

La normativa tecnica fornisce delle curve di tensione ottenute sperimentalmente che possono essere utilizzate per la verifica strutturale delle aste in acciaio soggette a compressione. Queste curve sono più cautelative rispetto alla curva euleriana, il che significa che per un dato valore di snellezza, le curve sperimentali forniscono un carico critico inferiore rispetto a quello calcolato utilizzando la curva di stabilità euleriana.

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